De la taquería al álgebra lineal

Introducción

Una de las instrucciones más conocidas del álgebra lineal dice lo siguiente.

Para multiplicar matrices se combinan renglones con columnas.

La frase permite recordar el procedimiento, pero deja abiertas varias preguntas. ¿Por qué se elige un renglón de la primera matriz y una columna de la segunda? ¿Por qué se suman los productos? ¿Qué representa cada número obtenido?

Estas preguntas se entienden mejor mediante un caso concreto. Gilbert Strang ha señalado el valor didáctico de comenzar el estudio del álgebra lineal con ejemplos específicos, de modo que las ideas aparezcan antes de la definición completamente abstracta. Siguiendo ese principio, imaginemos que necesitamos procesar los pedidos de una taquería.

Un pedido convertido en números

En una mesa se ordenaron cuatro tacos al pastor, dos tacos de asada y una quesadilla. El pedido puede representarse mediante un renglón.

La posición de cada cantidad indica el alimento al que corresponde.

Supongamos que sus precios unitarios son 18, 22 y 30 pesos. Para calcular correctamente la cuenta, debemos conservar el mismo orden al escribirlos en una columna.

Luego, cada cantidad se multiplica por el precio del producto correspondiente. Después se suman las tres aportaciones.

Por lo tanto, la cuenta de la mesa es de 146 pesos.

Una suma ponderada

El cálculo anterior recibe el nombre de producto punto. Se multiplican las entradas que ocupan posiciones correspondientes y después se suman los resultados. Como el primer vector contiene cantidades y el segundo contiene precios unitarios, también podemos interpretarlo como una suma ponderada.

Los cuatro tacos al pastor aportan 72 pesos a la cuenta, los dos tacos de asada aportan 44 y la quesadilla añade 30. La suma es necesaria porque buscamos el importe total, no tres costos separados.

El producto de un renglón de dimensión \(1\times 3\) y una columna de dimensión \(3\times 1\) produce un solo valor.

Varias mesas y varios datos

Consideremos ahora dos mesas. La primera hizo el pedido anterior, mientras que la segunda pidió tres tacos al pastor, cuatro de asada y dos quesadillas.

Los dos pedidos se reúnen en la matriz

Cada renglón corresponde a una mesa y cada columna representa un producto. La matriz no es solamente un arreglo de seis números. Sus renglones y columnas tienen un significado preciso.

Reunamos ahora dos datos de cada alimento, su precio y su contenido energético aproximado.

Esta información puede escribirse como

Los renglones de \(B\) corresponden a los alimentos y sus columnas contienen dos atributos diferentes. La primera columna reúne los precios y la segunda, las calorías.

Las dimensiones también tienen significado

La matriz \(A\) tiene dimensión \(2\times 3\) porque describe dos mesas y tres productos. La matriz \(B\) tiene dimensión \(3\times 2\) porque contiene tres productos y dos atributos.

Los números interiores no solo coinciden numéricamente. Ambos representan la misma lista de productos y conservan el mismo orden. Esta correspondencia permite relacionar las cantidades de cada alimento con sus precios y calorías.

La categoría compartida se recorre durante el cálculo y sus aportaciones se suman. Los significados exteriores permanecen. Por eso los renglones del resultado representarán mesas y las columnas representarán atributos.

El procedimiento renglón por columna

El producto \(AB\) tendrá dos renglones y dos columnas. Podemos representarlo inicialmente mediante entradas desconocidas.

Para obtener \(c_{11}\), se combina el primer renglón de \(A\), correspondiente a la primera mesa, con la primera columna de \(B\), que contiene los precios.

El valor \(c_{11}\) es el importe del pedido de la primera mesa.

Para calcular \(c_{12}\), se conserva el primer renglón de \(A\), pero ahora se emplea la segunda columna de \(B\).

Este resultado representa las calorías aproximadas de la primera mesa.

Los dos valores restantes se obtienen con el segundo renglón de \(A\).

Al reunir los cuatro productos punto obtenemos

Los renglones del resultado conservan el significado de los renglones de \(A\). Sus columnas, en cambio, heredan el significado de las columnas de \(B\). El producto convierte una tabla de pedidos en una tabla de importes y calorías.

Qué se está sumando

Existe otra forma de observar el mismo cálculo. En vez de construir el resultado entrada por entrada, podemos separar la contribución de cada alimento.

Cada alimento genera una matriz con su aportación a las dos mesas.

Esta descomposición aclara por qué se suman los productos. El resultado final acumula las contribuciones del pastor, la asada y la quesadilla. En álgebra lineal, la multiplicación de una columna por un renglón recibe el nombre de producto exterior. Un producto de matrices puede construirse como una suma de estos productos exteriores.

Procesar varias columnas a la vez

La primera columna de \(B\) es el vector de precios y la segunda es el vector de calorías. Denotémoslos mediante

La matriz \(B\) puede verse como la unión de ambos vectores.

Por consiguiente,

La primera columna del resultado contiene los importes de todas las mesas, mientras que la segunda contiene sus calorías. La matriz \(A\) aplica la misma operación de agregación a cada columna de información.

Esta lectura por columnas ocupa un lugar central en la exposición de Gilbert Strang. Si las columnas de \(B\) son \(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\ldots, \mathbf{b}_p\), entonces las columnas de \(AB\) son \(A\mathbf{b}_1,A\mathbf{b}_2,\ldots,A\mathbf{b}_p\).

La regla general

Si \(A\) tiene dimensión \(m\times n\) y \(B\) tiene dimensión \(n\times p\), el producto

es una matriz de dimensión \(m\times p\).

La entrada situada en el renglón \(i\) y la columna \(j\) se obtiene mediante

El índice \(k\) recorre la dimensión compartida. En el ejemplo de la taquería, ese índice representa los alimentos. La fórmula puede leerse como

La notación general expresa el mismo razonamiento empleado para calcular una cuenta. Se emparejan datos relacionados, se multiplican y después se acumulan sus contribuciones.

El orden no puede cambiarse

La multiplicación de matrices no es conmutativa. En general,

En nuestro ejemplo, \(AB\) tiene dimensión \(2\times 2\), mientras que \(BA\) tendría dimensión \(3\times 3\). Ambos productos pueden calcularse desde un punto de vista puramente algebraico, pero no describen la misma operación.

Existe además una diferencia entre compatibilidad numérica y compatibilidad semántica. En \(BA\), las dimensiones interiores coinciden porque ambas valen 2. Sin embargo, las columnas de \(B\) representan precio y calorías, mientras que los renglones de \(A\) representan mesas. Estas categorías no guardan la correspondencia necesaria. El cálculo produce números, pero no una tabla con significado claro dentro del problema.

Por tanto, comprobar las dimensiones es indispensable, aunque no suficiente. También debemos verificar qué representa cada renglón y cada columna.

Multiplicar también es encadenar transformaciones

En la taquería, una matriz transforma cantidades de productos en importes y calorías. En otros problemas, las matrices pueden transformar coordenadas, señales, imágenes o conjuntos de variables.

Supongamos que una matriz \(T_1\) transforma un vector \(\mathbf{x}\) y después otra matriz \(T_2\) actúa sobre el resultado. El proceso completo se escribe como

El producto \(T_2T_1\) representa las dos transformaciones reunidas en una sola. La operación situada a la derecha actúa primero. Esta propiedad explica tanto la utilidad de la multiplicación matricial como la importancia de conservar el orden.

El mismo principio aparece al combinar rotaciones y escalados en gráficos digitales, al relacionar sistemas de coordenadas en robótica y al encadenar capas en modelos de aprendizaje automático.

Errores frecuentes

• Multiplicar las entradas que ocupan la misma posición. Esa operación se denomina producto de Hadamard y no corresponde al producto matricial ordinario.
• Ignorar las dimensiones. El número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de renglones de la segunda.
• Alterar el orden de las categorías. Si una columna representa tacos al pastor, el renglón relacionado de la otra matriz debe representar ese mismo producto.
• Suponer que la coincidencia de dimensiones garantiza una interpretación válida. Las categorías interiores también deben tener el mismo significado.

Un ejercicio breve

Una tercera mesa pide dos tacos al pastor, un taco de asada y tres quesadillas. Su pedido se representa mediante

Usando la misma matriz de precios y calorías, determinemos el importe de la cuenta y su contenido energético aproximado.

El importe se obtiene mediante

Para las calorías calculamos

El resultado completo es

La mesa deberá pagar 148 pesos y su pedido representa aproximadamente 1370 kilocalorías.

Más que una receta

La multiplicación de matrices permite combinar información organizada alrededor de una categoría compartida. En nuestro ejemplo, una matriz describía las cantidades solicitadas en cada mesa y otra reunía las propiedades de los alimentos. El producto relacionó ambas tablas y generó nuevos resultados.

El procedimiento renglón por columna muestra cómo se calcula cada entrada. La lectura por columnas explica cómo una matriz procesa varios vectores a la vez, mientras que la suma de productos exteriores permite identificar la aportación de cada componente. No son operaciones distintas, sino diferentes formas de comprender el mismo producto.

Esta es la idea que permanece al pasar de una cuenta de tacos a problemas de economía, ingeniería, robótica, computación o aprendizaje automático. Una matriz deja de ser una tabla estática cuando se utiliza para relacionar, agregar o transformar información.

Bibliografía

• Lay, D. C., Lay, S. R., & McDonald, J. J. (2016). Álgebra lineal y sus aplicaciones (5.ª ed.). Pearson Educación.
• Margalit, D., & Rabinoff, J. (2019). Interactive Linear Algebra. Georgia Institute of Technology. https://textbooks.math.gatech.edu/ila/
• OpenStax. (2022). Precálculo 2ed, sección 9.5, Matrices y operaciones con matrices. Rice University. https://openstax.org/books/precálculo-2ed/pages/9-5-matrices-y-operaciones-con-matrices
• Strang, G. (2009). Starting with two matrices. Mathematics Magazine, 82(4), 278–283. https://doi.org/10.4169/193009809X468742
• Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
• The MathWorks, Inc. (s.f.). Matrix Algebra Refresher. https://www.mathworks.com/help/finance/matrix-algebra-refresher.html

El planteamiento inicial de representar una situación cotidiana mediante matrices también está inspirado en el video “À quoi sert une matrice?” del canal MATHmana.